Kısa Teori ve Çözümlü Problemlerle Matematik Analiz

İÇİNDEKİLER
Yazarlardan Birkac Soz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Baz Onemli Bilgiler/Tavsiyeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
0 ÖN BİLGİLER
1 FONKSİYONLAR 15
1.1 Bir Fonksiyonun Tanm Kümesini Bulmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2 Bir Fonksiyonun Sınırlılığını Araştırmak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3 Bir Fonksiyonun Artan-Azalanlığı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4 Fonksiyonlar Uzerine Cebirsel Işlemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.5 Bileşke Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.6 Ters Trigonometrik Fonksiyonlar Üzerine Cebirsel İşlemler . . . . . . . . . . 42
1.7 Bir Fonksiyonun Tersini Bulmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2 LİMİT 47
2.1 BELİRLİ LİMİTLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.2 0/0 BELİRSİZLİĞİ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.2.1 Çarpanlara Ayırma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.2.2 Dönüşüm Yapmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.2.3 Sağdan-Soldan Limitler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.2.4 Karekök ve Eslenik Çarpımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.3 Sonsuz Bölü Sonsuz BELİRSİZLİĞİ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.4 Sonsuz Eksi Sonsuz BELİRSİZLİĞİ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.5 0 Çarpı Sonsuz BELİRSİZLİĞİ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.6 USTEL LİMİTLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.7 SIKIŞTIRMA KURALI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.8 LİMİTİN TANIMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.9 BAZI ONEMLİ GERÇEKLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3 SÜREKLİLİK 125
3.1 BİR FONKSİYONUN SÜREKLİLİĞİ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.2 KAPALI ARALIK İÇERİSİNDEKİ SÜREKLİLİK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.3 KALDIRILABİLİR SÜREKSİZLİK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.4 SUREKLİLİK TANIMININ KULLANIMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.5 DUZGUN SUREKLİLİK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4 TUREV 165
4.1 TUREVİN TANIMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
4.1.1 Bir Sayı Olarak Türev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
4.1.2 Bir Fonksiyon Olarak Türev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.1.3 Bazı Transandant Fonksiyonların Türevleri . . . . . . . . . . . . . . 189
4.1.4 Soldan-Sağdan Türevler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
4.2 TEĞET ve NORMAL DOĞRULAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
4.3 ZİNCİR KURALI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
4.4 KAPALI TÜREV ALMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.5 TÜREV ALMA KURALLARI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
4.6 DEĞİŞİM HIZI OLARAK TÜREV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
4.6.1 Hız ve ivme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
4.6.2 Serbest Düşme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
4.6.3 Ekonomiye Uygulama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5 TUREVİNN UYGULAMALARI 235
5.1 ROLLE TEOREMİ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
5.2 ORTALAMA DEĞER TEOREMİ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
5.2.1 Teoremin Doğrudan Kullanımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
5.2.2 Bir Fonksiyonun En Küçük ve En Büyük Değerlerini Bulmak . . . . 261
5.2.3 Eşitsizlik İspatı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
5.2.4 Bir Fonksiyonun Sabit Olduğunu Göstermek . . . . . . . . . . . . . . 263
5.2.5 İki Fonksiyonun Bağlılığı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
5.2.6 Bir Fonksiyonun Tersinin Mevcut Olduğunu Göstermek . . . . . . . 265
5.3 ARTAN-AZALAN FONKSİYONLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
5.4 MAKSİMUM-MİNİMUM DEĞERLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
5.4.1 Tanımın Kullanımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
5.4.2 I. Türev Testi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
5.4.3 II. Türev Testi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
5.4.4 İki Testin Mukayesesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
5.4.5 Uç Nokta Ekstremumlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
5.4.6 Mutlak Ekstremumlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
5.5 BAZI MAKSİMUM-MİNİMUm PROBLEMLERİ. . . . . . . . . . . . . . . 275
5.6 KONKAVLIK ve DÖNÜM NOKTALARI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
5.7 BELİRSİZ ŞEKİLLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
5.7.1 0/0 Belirsiz Şekli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
5.7.2 Sonsuz/Sonsuz Belirsiz Şekli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
5.7.3 Kurala Uygun Hale Getirmek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
5.8 FONKSİYONLARDA ASİMPTOTLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
5.9 BAZI EĞRİ ÇİZİMLERİ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
5.10 LİNEER YAKLAŞIMLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
6 İNTEGRAL 325
6.1 ALT ve ÜST TOPLAMLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
6.2 RIEMANN TOPLAMLARI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
6.3 BAZI BELİRLİ İNTEGRALLERİN HESABI . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
6.3.1 Elemanter Geometrinin Kulanımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
6.3.2 Belirli İntegralin Özelliklerinin Kullanımı . . . . . . . . . . . . . . . 352
6.4 BİR FONKSİYONUN ORTALAMA DEĞERİ. . . . . . . . . . . . . . . . . 353
6.5 TEMEL TEOREMİN KULLANIMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
6.5.1 İntegral İle Tanımlı Bir Fonksiyonun Türevi . . . . . . . . . . . . . . 354
6.5.2 Türevi Bilinen Bir Fonksiyonun Tayini . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
6.5.3 İntegrali Bilinen Bir Fonksiyonun Tayini . . . . . . . . . . . . . . . . 356
6.5.4 Limit Hesabı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
6.6 DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME TEKNİĞİ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
6.6.1 Belirsiz İntegraller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
6.6.2 Belirli İntegralde Değişken Değiştirme . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
6.6.3 Belirli İntegralde Simetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
6.6.4 Eşitsizlik İspatnda Belirli İntegralin Kullanımı . . . . . . . . . . . . 363
7  İNTEGRASYON TEKNİKLERİ 383
7.1 DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
7.2 KISMİ İNTEGRASYON TEKNİĞİ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
7.3 TRİGONOMETRİK DÖNÜŞÜMLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
7.4 İKİNCİ DERECE POLİNOMLARI İÇEREN İNTEGRALLER . . . . . . . 434
7.5 BASİT KESİRLERE AYIRMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
7.6 IMPROPER İNTEGRALLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
7.6.1 Sınırsız Aralıklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
7.6.2 Tanımsız İntegrandlar 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
7.6.3 Tanımsız İntegrandlar 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
7.6.4 Improper İntegrallerin Karakterleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
7.7 sin ve/veya cos y İÇEREN KESİRLİ İFADELER . . . . . . . . . . . . 457
7.8 HİPERBOLİK DÖNÜŞÜMLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
8 İNTEGRALİN UYGULAMALARI 469
8.1 ALAN HESABI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
8.1.1 Düzlemsel Bir Bölgenin Alanı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
8.1.2 İki Eğri Arasındaki Alan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
8.2 HACİM HESABI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
8.2.1 Dilimleme Tekniği . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
8.2.2 Disk Tekniği . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
8.2.3 Pul Tekniği . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
8.2.4 Silindirik Kabuk Tekniği . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
8.3 YAY UZUNLUĞU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
8.4 BİR DÖNEL YÜZEYİN ALANI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516
İndeks 527